Definición del metodo de Lagrange
Método utilizado en la optimización para encontrar
los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones
su creador fue Joseph Louis Lagrange nombrado el metodo en honor a el.
Este método reduce el problema restringido
con n variables a uno sin restricciones de n + k
variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones
pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares
desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de
Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo
condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de
una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de
la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes
son los multiplicadores. La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para
funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las
restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con
respecto a las variables independientesde
la función sean iguales a cero.
Consideremos un caso bidimensional.
Supongamos que tenemos la función, f (x, y),
y queremos maximizarla, estando sujeta a la condición:
donde c es una
constante. Podemos visualizar las curvas de nivel de f dadas
por
para varios valores de dn,
y el contorno de g dado por g(x, y)
= c. Supongamos que hablamos de la curva de nivel donde g = c.
Entonces, en general, las curvas de nivel de f y g serán
distintas, y la curva g = c por lo general
intersecará y cruzará muchos contornos de f. En general, moviéndose
a través de la línea g=c podemos incrementar o
disminuir el valor de f. Sólo cuando g=c (el
contorno que estamos siguiendo) toca tangencialmente (no corta) una curva de
nivel de f, no se incrementa o disminuye el valor de f.
Esto ocurre en el extremo local restringido y en los puntos
de inflexión restringidos de f.
Un ejemplo familiar puede ser obtenido
de los mapas climatológicos, con sus curvas de nivel de presión y temperatura
(isóbaras e isotermas respectivamente): el extremo restringido ocurrirá donde
los mapas superpuestos muestren curvas que se tocan.
Geométricamente traducimos la condición
de tangencia diciendo que los gradientes de f y g son
vectores paralelos en el máximo. Introduciendo un nuevo escalar, λ, resolvemos
[f(x, y) - λ
(g(x, y) − c)] = 0
para λ ≠ 0.
Una vez determinados los valores de λ,
volvemos al número original de variables y así continuamos encontrando el
extremo de la nueva ecuación no restringida.
de forma tradicional. Eso es, para
todo (x, y) satisfaciendo la condición porque es igual a cero
en la restricción, pero los ceros de F(x, y)
están todos en .
Este metodo sirve para optimizar
COMO APLICAR ESTE MÉTODO
CONSISTE EN UN VIDEO EN EL CUAL SE
EXPLICA EL METODO TIENE DOS PARTES
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