Matriz Jacobiana

Matriz Jacobiana

La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de

primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta

matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En

este sentido, el Jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Supongamos F: Rn → Rm es una función que va del espacio euclidiano n-

dimensional a otro espacio euclidiano m-dimensional. Esta función está

determinada por m funciones reales: y1(x1,..., xn),..., ym(x1,..., xn). Las

derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz

m por n, la matriz Jacobiana de F:

Matriz Jacobiana

Ejemplo 1. La matriz jacobiana de la función F : R³ → R³ definida como:

es:

No siempre la matriz jacobiana es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2. Supóngase la función F : R³ → R⁴, cuyas componentes son:

Aplicando la definición de matriz jacobiana:

Determinante jacobiano

Si m = n, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro. En este caso la matriz jacobiana es cuadrada y podemos calcular su determinante, conocido como el determinante jacobiano o simplemente jacobiano.

El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de F cerca de ese punto. Para empezar, una función F es invertible cerca de p si el determinante jacobiano en p es no nulo. Más aún, el valor absoluto del determinante en p nos da el factor con el cual F expande o contrae su volumen cerca de p.

Ejemplos

Ejemplo 1. El determinante jacobiano de la función F : R³ → R³ definida como:

es:

El teorema de la función inversa garantiza que la función es localmente invertible en todo el dominio excepto quizá donde x₁ = 0 ó x₂ = 0 (es decir, los valores para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto aproximadamente 40 veces más voluminoso que el original.

Ejemplo 2. Cambiando un poco la función anterior por ésta:

El determinante jacobiano quedará:

En este caso existen más valores que anulan al determinante. Por un lado , y por otro:

con k = 0,1,2...

El método jacobiano es simplemente un determinante que sirve para pasar o transformar de un sistema de coordenas a otro. Tambien se llama determinante funcional.

Por ejemplo para pasar de un sistema rectangular a polar, de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas esfericas, entre otros.